如图,已知∠BAC在平面α内,P∉α,∠PAB=∠PAC,求证:点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.

如图,已知∠BAC在平面α内,P∉α,∠PAB=∠PAC,求证:点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.

题目
如图,已知∠BAC在平面α内,P∉α,∠PAB=∠PAC,求证:点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.
答案
证明:作PO⊥α,PE⊥AB,PF⊥AC,
垂足分别为O,E,F,连接OE,OF,OA,
PE⊥AB,PF⊥AC
∠PAE=∠PAF
PA=PA
⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE=AF,
PO⊥α
AB⊂α
⇒AB⊥PO

又∵AB⊥PE,PO∩PE=P,
∴AB⊥平面PEO,
∴AB⊥OE,同理AC⊥OF.
在Rt△AOE和Rt△AOF,AE=AF,OA=OA,
∴Rt△AOE≌Rt△AOF,∴∠EAO=∠FAO,
即点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.
作PO⊥α,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为O,E,F,连接OE,OF,OA,证明Rt△AOE≌Rt△AOF,然后得到点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.

三垂线定理.

本题考查三垂线定理,考查学生逻辑思维能力,是基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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