近世代数 半群

题目

近世代数 半群
求证半群中一定有一个元素满足 a.a=a

答案

应该是有限半群,对无限半群不成立,如(N,+)没有幂等元.证明：设a为有限半群G的任一元,考虑a,a^2,a^4,……,a^(2^n),……,因为G阶有限,所以必存在m>n>=0,a^(2^m)=a^(2^n)a^(2^m-2^n)=a^(2^m+2^m-2*2^n)=a^[2(2^n-2^n)]=...