1.甲,乙两人以匀速绕圆形跑到按相反方向跑步,出发点在直径的两个端点.如果他们同时出发,并在乙跑完100米时第一次相遇,甲跑一圈还差60米时第二次相遇,那么跑道的长是多少米?

题目

1.甲,乙两人以匀速绕圆形跑到按相反方向跑步,出发点在直径的两个端点.如果他们同时出发,并在乙跑完100米时第一次相遇,甲跑一圈还差60米时第二次相遇,那么跑道的长是多少米?
2.甲,乙两人分别从A,B两地同时出发相向面行.已知甲的速度比乙快,8小时两人在途中C点相遇.如果两人的速度各增加2千米,那么相遇时间可缩短2小时,且相遇点D距C点3千米.求甲原来的速度?
3.有几个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身,请把符合条件的数列出来.

答案

1.甲乙速度不变故两次相遇时跑的路程比相同.设跑道长x米.则：
100/(x-100)=(x-60)/(x+60)
容易解得：x=260米
2.设甲的速度为x千米,乙的速度为y千米.则甲乙速度之比代表了他们相遇时走的路程之比
x/(x+y) - (x+2)/(x+y+4) = 2(x-y)/(x+y)(x+y+4) = 3/L
L = 8(x+y)
L = 6(x+y+4)
显然,甲乙之所以在第二次能比第一次提前相遇,因为他们每个小时都多走2+2=4千米,因此一共多走了24千米.这24千米相当于他们第一次最后多出来的2小时里走的路程.因此甲乙的速度之和为：24/2 = 12千米/小时
甲乙的速度之差在两次没有变化,但他们走的路程之差变化了3*2=6千米（注意相遇点移动3千米,但路程之差的变化是两倍的距离）,变化的原因是少走了2个小时,即这两个小时能够多造成6千米的路程差,因此他们的速度差为6/2=3千米.
有了速度和和速度差,很容易知道,甲每小时走7.5千米,乙每小时走4.5千米.
3.
若有5则5必在个位,若有3则各位数字和能被3整除,若有9则各位数字和能被9整除.
若没有5,则只能是1379的组合,而这个组合的4个数字之和不能被3整除,故不可能.
因此必然有5,而3和9至少出现1个,因此这4个数之和必然能被3整除.
4个不同的一位奇数之和能被3整除,且包含3的数字组合只有：1359,3579两个.
由于两个组合都包含9,因此这样的组合必须能被9整除才符合题目要求,因此只有1359是可能的数字组合.
因此所有满足这样的四位数有：1395,1935,3195,3915,9135,9315