几道大学微积分题目

题目

几道大学微积分题目
用拉格朗日中值定理求证：
1,ex≤e^x
2,x≤tanx(0≤x≤π／2)
用罗必塔法则求极限：
lim(x→0)[1／e（1+x）^1／x]^1／x

答案

1.当x《0时,显然有ex≤e^x
当x>0时,要证ex≤e^x,只要证e^x/x-e》0,构造f（x）=e^x/x,所以f（1）=e
所有由拉格朗日中值定理,当x>1时,f（x）-f（1）=(e^a)(a-1)/a^2(x-1),a属于【1,x],显然
f(x)>f（1）
当x=1,f（x）=f（1）
当1>x>0时,f（x）-f（1）=(e^a)(a-1)/a^2(x-1),a属于[0,1],所以f(x)>f（1）
综合上述,e^x/x-e》0,即ex≤e^x
2,构造f（x）=tanx,f（0）=0,f（x）-f（0）=1/(cosa)^2(x-0),其中a属于【0,π／2】,显然f（x）-f（0）》x,所以x≤tanx
3.lim(x→0)[1／e（1+x）^1／x]^1／x
=lim（x→0）e^{ln{1／e（1+x）^1／x}/1／x}
= lim e^{(1／x)ln(1+x)-1}/x
=lime^{ln(1+x)-x}/x^2(前面几步,恒等变形)
=lime^{1/(1+x)-1}/2x（罗必塔法）
=lime^-x/2x
=e^-1/2