已知函数f(x)=x^2/2x+1(x>0)当x1>0,x2>0且f(x1)*f(x2)=1求证：x1*x2>=3+2倍根号2

题目

已知函数f(x)=x^2/2x+1(x>0)当x1>0,x2>0且f(x1)*f(x2)=1求证：x1*x2>=3+2倍根号2

答案

x1^2*x2^2=4x1x2+2(x1+x2)+1
≥4x1x2+4√(x1x2)+1
令t=√x1x2
t^4-4t^2-4t-1≥0
（t^4-2t^2+1)-2(t^2+2t+1)≥0
（t^2-1)^2-2（t+1)^2≥0
（（t+1）（t-1））^2-2（t+1)^2≥0
（t+1)^2（（t-1)^2-2）≥0
显然（t+1)^2≥0
所以（t-1)^2-2≥0
t-1≥√2
t≥√2 +1
√x1x2≥√2 +1
x1x2≥3+2√2