二次函数的图像经过点D(0,7/9根号3),且顶点C的横坐标为4,该图像在x轴上截得的线段AB的长为6

题目

二次函数的图像经过点D(0,7/9根号3),且顶点C的横坐标为4,该图像在x轴上截得的线段AB的长为6
1.求二次函数.
2.在该抛物线的对称轴上找一点p,使PA＋PD最小,求点P.
3.在抛物线上是否存在点Q,使三角形QAB与三角形ABC相似?请求出点Q.

答案

1.设y=ax^2+bx+c,根据题图像经过点D(0,7/9根号3),所以c=7/9根号3
所以方程成为y=ax^2+bx+7/9根号3
又且顶点C的横坐标为4,所以对称轴为-b/2a=4
该图像在x轴上截得的线段AB的长为6,设抛物线与x的两个交点为A（x1,0）B（x2,0）
所以有|x2-x1|=6 ,所以有（x2+x1）^2-4 x2×x1=36
x2,x1是ax^2+bx+7/9根号3=0的两个根.代入上式,解出a,b
所以y=根号3/9x^2-8根号3/9x+7/9根号3
2.因为P是对称轴上一点,所以PA=PB,可以把PA转化成PB,那么问题就转化成使PB＋PD最小,就是连接B和D点,直线BD与对称轴的交点就是P,P（4,根号3/3）
3.存在这样的Q,有两个点,因为根据前面的数据可以算出三角形ABC是顶角为120的等腰三角形,所以要找到以AB为腰,顶角为120的等腰三角形就可以了,有两个点满足（10,3根号3）,(-2,3根号3)