如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E． （1）求证：△ADC为等边三角形； （2）若BD=4cm，BE=23cm，求△ABC的周长．

题目

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E．

（1）求证：△ADC为等边三角形；
（2）若BD=4cm，BE=2

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cm，求△ABC的周长．

答案

（1）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=90°-∠B=90°-30°=60°，∵DE是BC的垂直平分线，∴∠DCB=∠B=30°，∴∠ACD=90°-∠DCB=90°-30°=60°，∴∠ACD=∠A，∴AD=CD，即△ADC为等边三角形；（2）∵DE是...

（1）先根据直角三角形的性质求出∠A的度数，再由线段垂直平分线的性质可求出∠DCB的度数，进而得到∠ACD的度数，由△ACD中各角的度数即可解答；
（2）由于DE是线段BC的垂直平分线，所以BC=2BE，CD=BD，由（1）可知CD=AD，可求出AB=2BD，再由∠B=30°可求出AC的长，由三角形的面积公式即可求解．

本题考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形．

考点点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质及直角三角形的性质，等腰三角形的判定定理，解答此题的关键是熟知线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．