已知函数f(x)=23sinx/3cosx/3-2sin2x/3. (I)求f(x)的图象的对称中心坐标; (II)在△ABC中,A、B、C所对边分别为,若f(C)=1,且b2=ac,求sinA.
题目
已知函数f(x)=2
sin
cos
-2sin
2.
(I)求f(x)的图象的对称中心坐标;
(II)在△ABC中,A、B、C所对边分别为,若f(C)=1,且b
2=ac,求sinA.
答案
(I)f(x)=
sin
+cos
-1=2sin(
+
)-1,
令
+
=kπ(k∈Z),得x=
-
,此时f(x)=-1,
则f(x)的图象的对称中心坐标为(
-
,-1)(k∈Z);
(II)在△ABC中,由f(C)=1,得到2sin(
+
)-1=1,即sin(
+
)=1,
∴
+
=
,即C=
,
∵b
2=ac,∴c
2=a
2+b
2=a
2+ac,
利用正弦定理化简得:sin
2C=sin
2A+sinAsinC,即sin
2A+sinA-1=0,
解得:sinA=
.
(I)f(x)解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据正弦函数的对称中心即可确定出f(x)的图象的对称中心坐标;
(II)由f(C)=1,利用第一问确定的函数解析式求出C的度数为
,利用勾股定理列出关系式,将已知等式代入,利用正弦定理化简即可求出sinA的值.
余弦定理;三角函数中的恒等变换应用.
此题考查了正弦定理、余弦定理,正弦函数的对称性,二倍角的正弦、余弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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