设函数f(x)=a/x+xlnx,g(x)=x3-x2-3. (I)如果存在x1、x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M; (II)如果对于任意的s、t∈[1

设函数f(x)=a/x+xlnx,g(x)=x3-x2-3. (I)如果存在x1、x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M; (II)如果对于任意的s、t∈[1

题目
设函数f(x)=
a
x
答案
(I)存在x1、x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立等价于g(x)max-g(x)min≥M
∵g(x)=x3-x2-3,∴g′(x)=3x(x−
2
3
)

∴g(x)在(0,
2
3
)上单调递减,在(
2
3
,2)上单调递增
∴g(x)min=g(
2
3
)=-
85
27
,g(x)max=g(2)=1
∴g(x)max-g(x)min=
112
27

∴满足的最大整数M为4;
(II)对于任意的s、t∈[
1
2
,2],都有f(s)≥g(t)成立等价于f(x)≥g(x)max
由(I)知,在[
1
2
,2]上,g(x)max=g(2)=1
∴在[
1
2
,2]上,f(x)=
a
x
+xlnx≥1恒成立,等价于a≥x-x2lnx恒成立
记h(x)=x-x2lnx,则h′(x)=1-2xlnx-x且h′(1)=0
∴当
1
2
<x<1
时,h′(x)>0;当1<x<2时,h′(x)<0
∴函数h(x)在(
1
2
,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,
∴h(x)max=h(1)=1
∴a≥1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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