空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD,E F分别为AD BC中点,求直线CE与平面BCD所成角.

题目

空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD,E F分别为AD BC中点,求直线CE与平面BCD所成角.

答案

分别过A、E作平面BCD的垂线,垂足分别是O、G.利用赋值法,令AB＝1.
∵AB＝BC＝CD＝DA＝BD,∴A－BCD是正四面体,∴O为△BCD的重心,∴DO＝（2/3）DF.
∵△BCD是等边三角形,∴DF＝（√3/2）BC＝√3/2,∴DO＝（2/3）×（√3/2）＝√3/3.
∴AO＝√（AD^2－DO^2）＝√（1－1/3）＝√6/3.
∵AO⊥平面BCD、EG⊥平面BCD,∴EG∥AO,又AE＝DE,∴EG＝（1/2）AO＝√6/6.
显然有：CE＝DF＝√3/2.
∴sin∠ECG＝EG/CE＝（√6/6）/（√3/2）＝√2/3.
∴∠ECG＝arcsin（√2/3）.
∴CE与平面BCD所成的角为 arcsin（√2/3）.