在△ABC中,∠BAC是锐角,AB=AC,AD和BE是高,它们交于点H,且AE=BE. (1)证明:AH=2BD; (2)若将∠BAC改为钝角,其余条件不变,上述的结论还成立?若成立,请证明;若不成立
题目
在△ABC中,∠BAC是锐角,AB=AC,AD和BE是高,它们交于点H,且AE=BE.
(1)证明:AH=2BD;
(2)若将∠BAC改为钝角,其余条件不变,上述的结论还成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
答案
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/aa64034f78f0f736df8dfdb00955b319ebc4130b.jpg)
(1)证明:如图1,
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠CAD+∠C=90°,∠CBE+∠C=90°,
∴∠CAD=∠CBE,即∠EAH=∠CBE,
在△AHE和△BCE中,
| ∠EAH=∠CBE | AE=BE | ∠AEH=∠BEC=90° |
| |
,
∴△AHE≌△BCE(ASA),
∴AH=BC,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD=
BC,即BC=2BD,
则AH=2BD;
(2)若将∠BAC改为钝角,其余条件不变,上述的结论还成立,
证明:如图2,∵AD⊥BC,BE⊥AE,
∴∠CAD+∠C=90°,∠CBE+∠C=90°,
∴∠CAD=∠CBE,即∠EAH=∠CBE,
在△AHE和△BCE中,
| ∠EAH=∠CBE | AE=BE | ∠AEH=∠BEC=90° |
| |
,
∴△AHE≌△BCE(ASA),
∴AH=BC,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD=
BC,即BC=2BD,
则AH=2BD.
(1)如图1,由AD与BE为两条高,利用同角的余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等,AE=BE,利用ASA得到三角形AHE与三角形BCE全等,利用全等三角形的对应边相等得到AH=BC,由AB=AC,且AD垂直于BC,利用三线合一得到D为BC中点,即BC=2BD,等量代换即可得证;
(2)若将∠BAC改为钝角,其余条件不变,上述的结论还成立,理由为:如图2,由AD与BE为两条高,利用同角的余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等,AE=BE,利用ASA得到三角形AHE与三角形BCE全等,利用全等三角形的对应边相等得到AH=BC,由AB=AC,且AD垂直于BC,利用三线合一得到D为BC中点,即BC=2BD,等量代换即可得证.
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