如图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥OA于站E，PF⊥OB于F，连接EF．求证：OP垂直平分EF．

题目

如图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥OA于站E，PF⊥OB于F，连接EF．求证：OP垂直平分EF．

答案

证明：∵PE⊥OA于E，DF⊥OB于F，
∴∠PEO=90°=∠PFO，
∴在△PEO和△PFO中，

∠PEO=∠PFO ∠EOP=∠FOP OP=OP

，
∴△PEO≌△PFO，
∴PE=PF，EO=FO，
∴O、P在EF的中垂线上，
∴OP垂直平分EF．

由已知易证△PEO≌△PFO，则PE=PF，EO=FO，由线段垂直平分线的性质的逆定理可得OP垂直平分EF．

本题考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．

考点点评：此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，以及线段垂直平分线的性质的逆定理，难度中等．