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题目

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椭圆C:x2/4+ y2=1 M（0,-1） 直线l:y=kx+m与椭圆C相交与不同的两点A、B
对任意k属于R,是否存在实数m,使以AB为直径的圆恒过点M?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由.

答案

设A坐标是(x1,y1),B(x2,y2)
y=kx+m代入到x^2+4y^2=4中有x^2+4(k^2x^2+2kmx+m^2)=4
(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0
x1+x2=-8km/(1+4k^2),x1x2=(4m^2-4)/(1+4k^2)
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k^2x1x2+mk(x1+x2)+m^2=k^2(4m^2-4)/(1+4k^2)+mk(-8km)/(1+4k^2)+m^2=(4k^2m^2-4k^2-8k^2m^2+m^2+4k^2m^2)/(1+4k^2)=(m^2-4k^2)/(1+4k^2)
以AB为直径的圆过点M,则有MA垂直于MB,即有向量MA*MB=0
MA=(x1,y1+1),MB=(x2,y2+1)
即有x1x2+(y1+1)(y2+1)=0
x1x2+y1y2+(y1+y2)+1=0
(4m^2-4)/(1+4k^2)+(m^2-4k^2)/(1+4k^2)+k(-8km)/(1+4k^2)+2m+1=0
4m^2-4+m^2-4k^2-8k^2m+2m+8k^2m+1+4k^2=0
5m^2-3+2m=0
(5m-3)(m+1)=0
m=3/5或m=-1