已知两个二次函数y1和y2，当x=α（α＞0）时，y1取得最大值5，且y2=25．又y2的最小值为-2，y1+y2=x2+16x+13．求α的值及二次函数y1，y2的解析式．

题目

已知两个二次函数y₁和y₂，当x=α（α＞0）时，y₁取得最大值5，且y₂=25．又y₂的最小值为-2，y₁+y₂=x²+16x+13．求α的值及二次函数y₁，y₂的解析式．

答案

设y₁=m（x-α）²+5
则y₂=x²+16x+13-m（x-α）²-5
当x=α时，y₂=25
即：α²+16α+8=25
解得：α₁=1，α₂=-17（舍去）
∴y₂=x²+16x+13-m（x-1）²-5
∴y₂=（1-m）x²+（16+2m）x+（8-m）
∵y₂的最小值为-2
∴

4(1−m)(8−m)−(16+2m)2

4(1−m)

=-2
解得m=-2，
检验：当m=-2时，4（1-m）≠0，
∴α=1，y₁=-2x²+4x+3，y₂=3x²+12x+10．