已知一函数f(x)且f(xy)=f(x)+f(y),利用数学归纳法证明f(x^n)=nf(x)

题目

已知一函数f(x)且f(xy)=f(x)+f(y),利用数学归纳法证明f(x^n)=nf(x)

答案

证明：(先要求出f(1)的值）
首先令x=y=1,则有：f(1)=f(1)+f(1)
得：f(1)=0

（下面再用归纳法证明）
令n=1,即y=1,则有f(x)=f(x)+f(1),即,f(x)=f(x).
令n=2,即y=x,则有f(x^2)=f(x)+f(x),即,f(x^2)=2f(x).
假设n=k,即y=x^(k-1)时,有f(x^k)=(k-1)f(x),
则当n=k+1,即y=x^k时,f[x^(k+1)]=f(x*x^k)=f(x)+f(x^k)=f(x)+kf(x)=(k+1)f(x).
所以当n=k+1时也成立.

故结论成立.