已知圆O:x2+y2=16,点P(1,2),M,N为圆上不同的两点且满足向量PM乘以向量PN=0,若向量PQ=PM+PN,则PQ最小值为

题目

已知圆O:x2+y2=16,点P(1,2),M,N为圆上不同的两点且满足向量PM乘以向量PN=0,若向量PQ=PM+PN,则PQ最小值为

答案

满足向量PM·向量PN=0,
向量PQ=向量PM 向量PN
PQ是对角线
∴四边形ANQM是矩形
∴|PQ|=|MN|
向量PQ的模的最小值=MN最小值
∴MN与OP连线垂直时,有最小值
OP斜率=2
∴MN斜率=-1/2
MN:y=-1/2x b
代入x² y²=16
得5/4x²-bx b²-16=0
设M(x1,y1),N(x2,y2)
向量PM=(x1-1,y1-2)
向量PN=(x2-1,y2-2)
∴向量PM·向量PN=0
x1x2-(x1 x2) y1y2-2(y1 y2) 5=0
x1x2-(x1 x2) 1/4*x1x2-b/2*(x1 x2) b² (x1 x2)-4b 5=0
5/4*x1x2-b/2*(x1 x2) b² 5=0
韦达定理
b²-16-2/5*b² b² 5=0
解得
b²=55/8
弦长公式
MN=√42
向量PQ的模的最小值为√42