在△abc中,角A,B,C的对边A,B,C分别为a,b,c,且向量P=(sinC,2b-c),q=(sinA,a)满足P//q.

题目

在△abc中,角A,B,C的对边A,B,C分别为a,b,c,且向量P=(sinC,2b-c),q=(sinA,a)满足P//q.
求证：△ABC是等腰三角形.若S△ABC=3倍根号3,b=2倍根号7,求cosA的值.

答案

(1）证：∵向量P∥向量Q.
∴sinC*a-(2b-c)sinA=0.
sinC*sinA-(2sinB-sinC)sinA=0
∵sinA≠0,∴sinC-2sinB+sinC=0.
2sinC-2sinB=0.
sinC=sinB
∠C=∠B,或∠C=180-∠B,此角不符号三角形的要求,舍去.
∴∠C=∠B,∴△ABC为等腰三角形.
证毕.
(2) 由正弦定理得：
b/sinB=C/sinC.
sinC=sinB,∴c=b=2√7.
S△ABC=(1/2)b*csinA=3√3.
sinA=6√3/(2√7)^2.
=3√3/14.
cosA=√[1-(3√3/14)^2].
=√(169/14^2).
∴cosA=13/14.