将二次积分化为极坐标形式的二次积分

题目

将二次积分化为极坐标形式的二次积分
∫0、1 dx∫0、1 f(x,y)dy 它的积分区域如何判断,如果是一个圆呢,为什么圆积分区域的ρ可以是纯数字,因为它的值一直是半径不变吗?求详解,

答案

这个积分区域应该是个边长为1的正方形内部.
如果要用极坐标,令x=rcost,y=rsint,则dxdy=rdrdt
则把正方形区域按照角度分为两个区域R1,R2
其中R1={(r,t)| 0≤r≤1/cost,0≤t≤π/4}
R2={(r,t)| 0≤r≤1/sint,π/4≤t≤π/2}
从而原式=∫ [0,π/4] dt ∫[0,1/cost] f(rcost,rsint)rdr+∫ [π/4,π/2] dt ∫[0,1/sint] f(rcost,rsint)rdr