线性代数有关矩阵的一个问题

题目

线性代数有关矩阵的一个问题
设A是m×n矩阵,R（A）=r,证明存在秩为r的m×n矩阵B与秩为r的r×n矩阵C,使A=BC

答案

B的阶数是应该是mxr,否则BC不能乘,
这个题是一个构造题,
对于任意的m×n矩阵A都可以化成标准矩阵型
即存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q使得A=PVQ,
其中V=Er 0
0 0
Er是r阶单位矩阵,那么V的秩为r
令B为PV,显然B的阶数为mxr,C为VQ,显然C的阶数为r×n
由于P、Q均为可逆矩阵,所以B、C的秩等于V的秩r
那么BC=PV*VQ=PVQ=A