求原点到曲面x^2+2Y^2-3z^2=4的最小距离.

题目

求原点到曲面x^2+2Y^2-3z^2=4的最小距离.
麻烦用拉格朗日辅助函数求解下

答案

假设满足条件的点为x0,y0,z0,那么这个点必须满足x^2+2Y^2-3z^2=4；
而这个距离的平方就是x^2+y^2+z^2;所以其实就是求x^2+y^2+z^2的最小值；
看z^2增大会导致x^2+2Y^2增大所以会使距离增大,所以z^2要尽量小,所以z=0；
有x^2+2Y^2=4;求x^2+y^2的最小值
x^2+y^2=4-y^2;要y^2尽量大,但是y^2最大为2,所以x^2+y^2>=2;
所以最小距离是根号2