已知a,b是两个非零向量 证明 当a与b+入a垂直时,b+入a的模取最小值

题目

已知a,b是两个非零向量 证明 当a与b+入a垂直时,b+入a的模取最小值

答案

a与b+入a垂直
=> a.(b+入a) =0
a.b + 入|a|^2 =0
|b+入a|^2
=(b+入a).(b+入a)
=|b|^2+入^2|a|^2 + 2入a.b
d(|b+入a|^2)/d入
=2入|a|^2 + 2a.b
= 2(入|a|^2+a.b)
= 0 ( if a与b+入a垂直 )
(|b+入a|^2)' = 2|a|^2 > 0 ( min )
=> 当a与b+入a垂直时,|b+入a|^2 取最小值
=>当a与b+入a垂直时,|b+入a| 取最小值