以△ABC的三边为边,在BC的同侧作三个等边△ABD,△BEC,△ACF.证明（1）ADEF为平行四边形.

题目

以△ABC的三边为边,在BC的同侧作三个等边△ABD,△BEC,△ACF.证明（1）ADEF为平行四边形.
（2）当△满足什么条件时,ADEF是菱形?矩形?

答案

先证明△BDE≌△BAC,可得DE=AC,而AC=AF,故AF=DE,同理,AD=EF,四边形ADEF为平行四边形.
证明：∵△ABD,△BEC,△ACF是等边三角形
∴BD＝AB,BC＝BE,AC＝AF,∠ABD＝∠EBC＝60°
∴∠ABD－∠ABE＝∠EBC－∠ABE
即∠EBD＝∠ABC
在△BDE和△BAC中
BD＝AB,∠EBD＝∠ABC,BC＝BE
∴△BDE≌△BAC
∴DE＝AC,
又∵AC＝AF
∴DE＝AF
同理,AD＝EF
∴四边形ADEF是平行四边形
（2）要使平行四边形ADEF是菱形,则需一组临边相等,如AD＝AF,那需AB＝AC,所以AB＝AC时四边形ADEF是菱形.
要使平行四边形ADEF是矩形,则需要有一个内角是直角,如∠DAF＝90°,又∠DAB＝∠FAC＝60°,所以∠BAC＝150°