正三棱锥底面边长为a,侧棱与底面成45°角,求此棱锥的侧面积、全面积、体积.

题目

正三棱锥底面边长为a,侧棱与底面成45°角,求此棱锥的侧面积、全面积、体积.

答案

正三棱锥的底面的三角形为正三角形.所以该底面的三角形的高为√a^2-(a/2)^2=√3a/2
所以该底面的三角形的面积为1/2*a*√3a/2=√3a^2/4
因为侧棱和地面成45°,即侧棱与底面三角形的高成45°
所以侧棱与底面的高成一个底角为45°的直角三角形.两腰都等于底面高的一半.即√3a/4
所以侧棱=√(2(√3a/4)^2)=√6a/4
同理侧面也是正三角形.即它的高=√((√6a/4)^2-(√6a/8)^2)=3a√2/8
所以侧面的面积=1/2*√6a/4*3√2a/8=6a^2√3/64=3a^2√3/32
所以正三棱锥的表面积为四个正三角形的面积的和
即3*3a^2√3/32+√3a^2/4=25a^2√3/32