已知∫(上限x下限0)tf(2x-t)dt＝0.5arctanx^2 ,f(1)＝1 ,求∫(上限2下限1)f(x)dx

题目

已知∫(上限x下限0)tf(2x-t)dt＝0.5arctanx^2 ,f(1)＝1 ,求∫(上限2下限1)f(x)dx

答案

结果得3/4
计算过程如下：
（1）：令2x-t=u t:0->x 则u:2x->x 且dt=-du
∫(上限x下限0)tf(2x-t)dt=∫(上限x下限2x)(u-2x)f(u)dtu=∫(上限x下限0)(u-2x)f(u)dtu-∫(上限2x下限0)(u-2x)f(u)dtu=0.5arctanx^2
（2）：两边求导转化一下形式就可以得到∫(上限2x下限x)f(x)={1/(1+x^4)+xf(x)}*(1/2）
带入x=1即可得出结果