若a>b>0,求a^2+16/b(a-b)的最小值

题目

若a>b>0,求a^2+16/b(a-b)的最小值

答案

利用不等式的放缩法；实数的性质“p*q ≤ [(p+q)/2]^2”.
a＞b＞0,即 a＞0,a-b＞0.
于是 b(a-b)≤[(b+a-b)/2]^2 = a^2/4 (当且仅当 b = a-b = a/2 时取等号),
故 16/b(a-b)≥16/(a^2/4 )= 64/a^2,
则 a^2 + 16/b(a-b)≥a^2 + 64/a^2 ≥ 2* 根号下(a^2*64/a^2)= 16 (当且仅当 a^2 = 64/a^2 即 a=2倍根号2 时取等号).
所以 当 a=2倍根号2,b=根号2 时,a^2 + 16/b(a-b) 取最小值 16.
解毕.