已知等比数列{an}的公比q=-1/2． （1）若a3=1/4，求数列{an}的前n项和； （2）证明，对任意k∈N+，ak，ak+2，ak+1成等比数列．

题目

已知等比数列{a_n}的公比q=-

1

2

答案

（1）由a₃=

1

4

=a₁q²，以及q=-

1

2

可得 a₁=1．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=

1×[1−(− 1 2 )n]

1+ 1 2

=

2−2•(− 1 2 )n

3

．
（2）证明：对任意k∈N₊，2a_k+2-（a_k +a_k+1）=2a₁ q^k+1-a₁ q^k-1-a₁ q^k=a₁ q^k-1（2q²-q-1）．
把q=-

1

2

代入可得2q²-q-1=0，
故2a_k+2-（a_k +a_k+1）=0，
故 a_k，a_k+2，a_k+1成等差数列．