arcsinx的平方的不定积分怎么解?

题目

arcsinx的平方的不定积分怎么解?

答案

∫ arcsin²x dx
分部积分
=xarcsin²x - 2∫ xarcsinx/√(1-x²) dx
=xarcsin²x - ∫ arcsinx/√(1-x²) d(x²)
=xarcsin²x + 2∫ arcsinx d(√(1-x²))
分部积分
=xarcsin²x + 2√(1-x²)arcsinx - 2∫ √(1-x²)/√(1-x²) dx
=xarcsin²x + 2√(1-x²)arcsinx - 2∫ 1 dx
=xarcsin²x + 2√(1-x²)arcsinx - 2x + C
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