已知P(m,a)是抛物线y=ax2上的点,且点P在第一象限. (1)求m的值 (2)直线y=kx+b过点P,交x轴的正半轴于点A,交抛物线于另一点M. ①当b=2a时,∠OPA=90°是否成立?如果成
题目
已知P(m,a)是抛物线y=ax
2上的点,且点P在第一象限.
(1)求m的值
(2)直线y=kx+b过点P,交x轴的正半轴于点A,交抛物线于另一点M.
①当b=2a时,∠OPA=90°是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,举出一个反例说明;
②当b=4时,记△MOA的面积为S,求
答案
(1)m
2a=a(a>0),
m
2=1(m>0),
即m=1;
(2)当a=1时,∠OPA=90°成立,即当a>0且a≠1时,∠OPA=90°不成立.
①b=2a,y=kx+2a,
P在直线上,则a=k+2a,即a=-k(k<0)
则kx+2a=0,即x=-
=−=2,
A(2,0)
-kx
2=kx-2k⇒x
2+x-2=0⇒(x+2)(x-1)=0,x=-2或x=1
M(-2,4a)
∠OPA=90°
即a
2=1,a=1
k=-1,y=-x-2,y=x
2P(1,1)
故当a=1时,∠OPA=90°成立,即当a>0且a≠1时,∠OPA=90°不成立;
②当b=4时,直线y=kx+b即为直线y=kx+4,
kx+4=0⇒x=-
又∵直线y=kx+4过点P(1,a),
∴k+4=a⇒k=a-4,
(a-4)x+4=ax
2即ax
2-(a-4)x-4=0
即(ax+4)(x-1)=0
∴S=
•
•
=
=
a-
a
2=-
(a-2)
2+
,
∴当a=2时,
max=
.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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