设向量a=(4cosa,sina),b=（sinβ,4cosβ),c=(cosβ,cosβ）.

题目

设向量a=(4cosa,sina),b=（sinβ,4cosβ),c=(cosβ,cosβ）.
问：（1)若a 与b-2c垂直,求tan (a+β)的值
(2)求|b+c|的最大值
(3)若tanatanβ=16,求证：a//b

答案

1.由a 与b-2c垂直,知向量a与向量（b-2c）的内积为0
即得(4cosa,sina)*（sinβ,4cosβ)
=4cosasinβ+4sinacosβ=0,
所以sin(a+β),=0
tan(a+β)=0
2.b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ+cosβ)
所以|b+c|=根号[(sinβ+cosβ)^2+(5cosβ)^2]
=根号[sin2β+(cos2β)/2+27/2]
=根号【[（根号5）sin(2β+t)]/2+27/2】 （其中tant=1/2）
所以最大值为根号【[（根号5）+27]/2】
3.tanatanβ=16,即sinasinβ=16cosacosβ
所以a//b