设f(x)=sinx-∫(0~t)(x-t)f(t)dt,f为连续函数,求f(x).
题目
设f(x)=sinx-∫(0~t)(x-t)f(t)dt,f为连续函数,求f(x).
答案
f(x) = sinx - ∫(0~x) (x - t) f(t) dt
= sinx - x∫(0~x) f(t) dt + ∫(0~x) tf(t) dt,之后两边对x求导
f'(x) = cosx - [x' · ∫(0~x) f(t) dt + x · f(x)] + xf(x)
f'(x) = cosx - ∫(0~x) f(t) dt,两边再对x求导
f''(x) = - sinx - f(x)
==> y'' + y = - sinx,解微分方程
特征方程:r² + 1 = 0 => r = ±i
y = Acosx + Bsinx
令特p = x · (Acosx + Bsinx) = Axcosx + Bxsinx
p'' = - Axcosx - 2Asinx + 2Bcosx - Bxsinx,代入微分方程中
p'' + p = - sinx
(- Axcosx - 2Asinx + 2Bcosx - Bxsinx) + (Axcosx + Bxsinx) = - sinx
- 2Asinx + 2Bcosx = - sinx
解得A = 1/2,B = 0
p = (1/2)xcosx
通解为y = (1/2)xcosx + Acosx + Bsinx
所以f(x) = (1/2)xcosx + Acosx + Bsinx,其中A和B都是任意常数
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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