用初等变换判定下边矩阵是否可逆,如可逆,求其逆矩阵:

题目

用初等变换判定下边矩阵是否可逆,如可逆,求其逆矩阵:

答案

用初等行变化求矩阵的逆矩阵的时候,
即用行变换把矩阵(A,E)化成(E,B)的形式,那么B就等于A的逆
在这里
(A,E)=
2 2 -1 1 0 0
1 -2 4 0 1 0
5 8 2 0 0 1 第1行减去第2行×2,第3行减去第2行×5
～
0 6 -9 1 -2 0
1 -2 4 0 1 0
0 18 -18 0 -5 1 第3行减去第1行×3,交换第1和第2行
～
1 -2 4 0 1 0
0 6 -9 1 -2 0
0 0 9 -3 1 1 第2行加上第3行,第3行除以9
～
1 -2 4 0 1 0
0 6 0 -2 -1 1
0 0 1 -1/3 1/9 1/9 第2行除以6,第1行加上第2行×2,第1行减去第3行×4
～
1 0 0 2/3 2/9 -1/9
0 1 0 -1/3 -1/6 1/6
0 0 1 -1/3 1/9 1/9
这样就已经通过初等行变换把(A,E)～(E,A^-1)
于是得到了原矩阵的逆矩阵就是
2/3 2/9 -1/9
-1/3 -1/6 1/6
-1/3 1/9 1/9