函数f(x)=log9(x+8−a/x)在[1,+∞)上是增函数,求a的取值范围.

函数f(x)=log9(x+8−a/x)在[1,+∞)上是增函数,求a的取值范围.

题目
函数f(x)=log
答案
∵函数f(x)=log9(x+8−
a
x
)
在[1,+∞)上是增函数,
∴对任意的1≤x1<x2,有f(x1)<f(x2),
log9(x1+8−
a
x1
)<log9(x2+8−
a
x2
)

x1+8−
a
x1
x2+8−
a
x2
,即(x1x2)(1+
a
x1x2
)<0

∵x1-x2<0,∴1+
a
x1x2
>0
a
x1x2
>−1
,a>-x1x2
∵x2>x1≥1,∴要使a>-x1x2恒成立,只要a≥-1;
又∵函数f(x)=log9(x+8−
a
x
)
在[1,+∞)上是增函数,∴1+8-a>0,
即a<9,综上a的取值范围为[-1,9).
另(用导数求解)令g(x)=x+8−
a
x

函数f(x)=log9(x+8−
a
x
)
在[1,+∞)上是增函数,
g(x)=x+8−
a
x
在[1,+∞)上是增函数,g′(x)=1+
a
x2

∴1+8-a>0,且1+
a
x2
≥0
在[1,+∞)上恒成立,得-1≤a<9.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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