以任意三角形三边做等边三角形 证明各等边三角形的中心连线仍为等边三角形

题目

以任意三角形三边做等边三角形 证明各等边三角形的中心连线仍为等边三角形
现在大一了.额

答案

这是拿破仑三角形.
这个三角形是这样的：● 在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形.这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“外拿破仑三角形”.如图中的△DEF就是△ABC的外拿破仑三角形.● 在任意一个三角形的三条边上分别向内做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心仍能构成一个等边三角形,这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“内拿破仑三角形”.证明 这里提供一种最简单的证明方法,只需初中的水平就可以理解了：证明：如图,分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长,向△ABC外作等边三角形（△BCC'、△ACA'、△ABB'）,设这三个三角形的中心分别为D,E,F,则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30° 以点A为圆心,以AF长为半径作弧；以点E为圆心,以DC长为半径作弧.设两弧在多边形AFBDCE内交于点G.则AG=AF,GE=DC.连接GF、GA、GE,DE、DF、EF.∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°） ∴△ABF∽△BCD∽△ACE,∴AF/AB = AE/AC = DC/BC 又∵AG=AF,GE=DC ∴AG/AB = AE/AC = GE/BC ∴△AGE∽△ABC ∴∠GAE=∠BAC ∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60° 又∵AG=AF ∴△AGF为等边三角形 ∴AG=AF,∠AGF=60° ∵△AGE∽△ABC ∴∠AGE=∠ABC 又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60° ∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60° ∴∠FBD=∠FGE ∵在△FBD和△FGE中,FB=FG,∠FBD=∠FGE,BD=GE ∴△FBD≌△FGE(SAS) ∴FD=FE 同理,FD=DE ∵FD=DE=FE ∴△DEF为等边三角形