已知函数f(x)在定义域R上可导,设点P是函数y=f(x)的图像上距离原点O最近的点
题目
已知函数f(x)在定义域R上可导,设点P是函数y=f(x)的图像上距离原点O最近的点
1)若点P的坐标(a,f(a)),求证a+f(a)f'(a)=o
(2)若函数y=f(x)的图像不通过坐标原点O,证明直线OP与函数y=f(x)的图像上过P点的切线互相垂直
答案
设函数上任意点到原点的距离为L(x,y),则L(x,y) = x*x + y*y.
当函数处于p点的时候,L取得最小值,则L对x的偏微分必为0.
即x*x + y*y的对x偏微分为0,可得2x + 2y*y'= 0.整理可得:a+f(a)f'(a)=o .
而若函数f不过原点,则f(a)不等于零.则f'(a) = -a/f(a).显然函数y=f(x)的图像上过P点的切线互相垂直.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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