证明:m*n矩阵A和B等价<=>r(A)=r(B).
题目
证明:m*n矩阵A和B等价<=>r(A)=r(B).
答案
设矩阵A,B等价,所以 存在可逆矩阵P,Q,使得 B=PAQ
由于P可逆,因此,矩阵A与PA有相同的秩
而Q可逆,因此,矩阵PA与PAQ有相同的秩,即矩阵 A与B有相同的秩.
这就证明了:m*n矩阵A和B等价=>r(A)=r(B).
设 r(A)=r(B)=r
记C为如下的m*n矩阵,其左上角为一r阶单位矩阵,其它为0
Er 0
0 0.
于是 存在可逆矩阵 P,Q使得 PAQ=C,
同样 存在可逆矩阵 R,S使得 RBS=C.
因此 PAQ=RBS
B=R的逆*PAQ*S的逆,由于R的逆*P 与 Q*S的逆 都是可逆矩阵,于是 A与B等价.
这就证明了:r(A)=r(B).=>矩阵A和B等价.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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