已知两个等差数列{an},{bn}中a1=1,且a1+b1=a3+b2,a1+b3≤a3+b1,a4b4=-8

题目

已知两个等差数列{an},{bn}中a1=1,且a1+b1=a3+b2,a1+b3≤a3+b1,a4b4=-8
若两个数列的各项都是整数,求此两个数列的通项公式

答案

设an的公差为t,bn的公差为u
a1+b1=a3+b2
a3-a1=b1-b2
2t= -u
a1+b3≤a3+b1
b3-b1≤a3-a1
2u≤2t u≤t
综合得 t≥0 u≤0
因为a1=1,t≥0,所以an为正整数数列.故t为正整数
∵a4*b4=-8 ∴a4＞0,b4＜0
当a4=1时,b4=-8,此时an=1,bn=-8满足条件
当a4=2时,b4=-4,a4=a1+3t,t=1/3,不满足条件
当a4=4时,b4=-2,此时a4=a1+3t,t=1,an=n.a1+b1=a3+b2,b2-b1=-2=u,b4=b1+3u,b1=4,bn=4-2n
当a4=8时,b4=-1,此时a4=a1+3t,t=7/3,不满足条件.
因此两个数列的通项公式可能为an=1,bn=-8或者an=n,bn=4-2n