求由曲线y=x^2,y=x+2围城的图形绕y轴旋转一周生成的旋转体的体积V

题目

求由曲线y=x^2,y=x+2围城的图形绕y轴旋转一周生成的旋转体的体积V

答案

求由曲线y=x²,y=x+2围城的图形绕y轴旋转一周生成的旋转体的体积V
直线y=x+2与y轴的交点的坐标为C(0,2)；
令x²=x+2,得x²-x-2=(x+1)(x-2)=0,故得x₁=-1,x₂=2;
即直线y=x+1与抛物线y=x²的交点为A(-1,1),B(2,4)；
直线段CB绕y轴旋转一周所得旋转体是一个园锥,该园锥的底面半径=2,园锥高=2；
其体积=(8/3)π；
故所求旋转体的体积V=【0,4】∫πx²dy-(8/3)π
=【0,2】π∫ydy-(8/3)π
=(π/2)y²【0,4】-(8/3)π
=8π-(8/3)π=(16/3)π