正方行ABCD中一点E分别连接ABCD点,角EAB和角EBA都是15度角,求正三角行DEC 为等边三角形

题目

正方行ABCD中一点E分别连接ABCD点,角EAB和角EBA都是15度角,求正三角行DEC 为等边三角形

答案

不能通过简单的角边相等来证,只能通过求角为60或三边相等,并且繁简一样,都用到解斜三角形.下面是我的证明,仅作参考.
设正方形边长为a,
过E作EF垂直AB于F,EAB=角EBA,三角形EAB为等腰三角形,所以F为AB中点,
在RT△EAB中,AF=BF=a/2,
易求 cos15=√（1+cos30/2）=（√6+√2）/4,sin15=（√6-√2）/4
所以 AE=BE=AF / cos15=（√6-√2）*a/2
在三角形AED中,角DAE=90- EAB=75
cos75= sin15=（√6-√2）/4
由余弦定理有,
DE^2=AE^2+AD^2-2*AE*AD*cos75
=(（√6-√2）*a/2)^2+a^2-2*（√6-√2）*a/2*a*（√6-√2）/4
=a^2(前后两个大项正好约掉,都不用展开了)
推出DE=a
同理 CE=a
由此 DC=DE= CE =a
三角形EDC为等边三角形.