已知：在△ABC中∠B=2∠C.求证：AB²+AB×BC=AC²

题目

已知：在△ABC中∠B=2∠C.求证：AB²+AB×BC=AC²

答案

作∠B的平分线,交AC于D,因为
∵ ∠B=2∠C
∴ ∠ABD=∠C
又∵ ∠A=∠A
∴ △ABD∽△ACB
∴ AB：AC=AD：AB=BD：BC
AB：AC=AD：AB
∴ AB的平方=AC·AD………………①
AB：AC=BD：BC
∴ AB·BC=AC·BD
又∵ ∠DBC=∠C
∴ BD=DC
∴ AB·BC=AC·DC……………………②
①+②可得
AB的平方+AB·BC=AC·AD+AC·DC=AC·（AD+DC）=AC的平方