椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1过点P(3,1)其左右焦点分别为F1F2且向量F1P*向量F2P=-6

题目

椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1过点P(3,1)其左右焦点分别为F1F2且向量F1P*向量F2P=-6
（1）求椭圆E的方程
（2）若MN是直线X=5上的两点且F1M⊥F2N,圆C是以MN为直径的圆是否过定点

答案

1
F1(-c,0) F2(c,0)
向量F1P (3+c,1)
向量F2P (3-c,1)
F1P*F2P=(3+c)(3-c)+1=-6
10-c^2=-6
c^2=16
P(3,1)
2a=F1P+F2P=√[(3-4)^2+1]+√((3+4)^2+1)=6√2
a=3√2
a^2=18
b^2=2
x^2/18+y^2/2=1
2设F1M和F2N的交点为S
那么F1S垂直F2S
S在x^2+y^2=16圆上
S(4cosu,4sinu)
F1M直线：y=[4sinu/(4cosu+4)](x+4)
x=5,y=9sinu/(cosu+1)=9tan(u/2)
F2N直线：y=[4sinu/(4cosu-4)](x+4)
x=5,y=-9cot(u/2)
MN=9(tanu/2+cotu/2)=18/sinu
Cx=5,Cy=9(tanu/2-cotu/2)=-18cotu
(x-5)^2+(y+18cotu)^2=18^2/sinu^2
随着u的变化,MN和圆心C都在变化,因此圆C不会过定点