求函数y=2sinx(1−sinx)3−cos2x+4sinx，x∈（0，π2）的值域．

题目

求函数y=

2sinx(1−sinx)

3−cos2x+4sinx

答案

y=

2sinx(1−sinx)

3−(1−2sin2x)+4sinx

=

−sin2x+sinx

sin2x+2sinx+1

．
设t=sinx，则由x∈（0，

π

2

）⇒t∈（0，1）．
对于y=

−t2+t

t2+2t+1

=

−(t+1)2+3(t+1)−2

(t+1)2

=-1+

3

t+1

-

2

(t+1)2

，
令

1

t+1

=m，m∈（

1

2

，1），
则y=-2m²+3m-1=-2（m-

3

4

）²+

1

8

．
当m=

3

4

∈（

1

2

，1）时，y_max=

1

8

，
当m=

1

2

或m=1时，y=0．
∴0＜y≤

1

8

，即函数的值域为y∈（0，

1

8

]．