已知抛物线的顶点P（3，-2）且在x轴上所截得的线段AB的长为4． （1）求此抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积等于12？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

题目

已知抛物线的顶点P（3，-2）且在x轴上所截得的线段AB的长为4．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积等于12？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵抛物线的顶点P（3，-2），
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
又∵在x轴上所截得的线段AB的长为4，设A在左边，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-5），
将点P（3，-2）代入可得：-2=a（3-1）（3-5），
解得：a=

1

2

，
故抛物线的解析式为：y=

1

2

（x-1）（x-5）=

1

2

x²-3x+

5

2

．
（2）设存在点Q的坐标，点Q的坐标为（x，

1

2

x²-3x+

5

2

），
∵△QAB的面积等于12，
∴

1

2

AB×|

1

2

x²-3x+

5

2

|=12，
即

1

2

x²-3x+

5

2

=±6，
方程

1

2

x²-3x+

5

2

=-6无解，则

1

2

x²-3x+

5

2

=6，
解得：x₁=7，x₂=-1．
故可得点Q的坐标为（-1，6）或（7，6）．