如图,在三角形ABC中,AD平分角BAC,点E、F分别为AB、AC上的点,角EDF+角BAF=180度.求证：DE=DF

题目

如图,在三角形ABC中,AD平分角BAC,点E、F分别为AB、AC上的点,角EDF+角BAF=180度.求证：DE=DF

答案

证明：过D分别作AB、AC的垂线,垂足分别为P、Q 所以∠APD=∠AQD=90° 因为AD平分∠BAC 所以DP=DQ（角平分线上的点到角两边的距离相等） 在四边形APDQ中∠PAD+∠APD+∠AQD+∠PDQ=360°（四边形的内角和为360°） 而∠APD+∠AQD=180° 所以∠PAD+∠PDQ=180° 即∠BAC+∠PDQ=180° 而∠EDF+∠BAC=180° 所以∠EDF=∠PDQ 因为AD是∠BAC的平分线,DQ⊥AC,DP⊥AB 所以AD也是∠PDQ的平分线 故∠PDA=∠ADQ,∠BAD=∠DAC ∠EDP=∠ADE-∠ADP ∠FDQ=∠ADQ-∠ADF 所以∠EDP-∠FDQ=∠ADE-∠ADP-∠ADQ+∠ADF=∠ADE+∠ADF-(∠ADP+∠ADQ)=∠EDF-∠PDQ 已证∠EDF=∠PDQ 所以∠EDP-∠FDQ=0 即∠EDP=∠FDQ 在直角三角形EDP和直角三角形FDQ中 ∠EDP=∠FDQ（已求） DQ=DQ（已求） ∠EPD=∠FQD=90°(已知) 所以直角三角形EDP和直角三角形FDQ全等（ASA） 所以DE=DF（全等三角形的对应边相等）.