圆x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q满足 ①关于直线kx-y+4=0对称,②OP⊥OQ. (1)求k值; (2)求直线PQ的方程.
题目
圆x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q满足 ①关于直线kx-y+4=0对称,②OP⊥OQ.
(1)求k值;
(2)求直线PQ的方程.
答案
(1)曲线x
2+y
2+x-6y+3=0可变为:
(x+)2+(y-3)2=()2得到圆心(-
,3),半径为
;
因为圆上有两点P、Q关于直线对称,得到圆心在直线上,
把(-
,3)代入到kx-y+4=0中求出k=2
(2)直线PQ的斜率=
=-
;设PQ方程为
y=-x+b联立得
,代入整理得
x2+(4-b)x+b2-6b+3=0设P(x
1,y
1),Q(x
2,y
2),
∵OP⊥OQ.∴x
1x
2+y
1y
2=0
∴
x1x2-(x1+x2)+b2=0∴
b2- 6b+3-(b2-4b )+b2=0∴
b=或b=所以直线PQ的方程为:
y=-x+或
y=-x+,经验证符合题意.
(1)因为曲线方程为圆的方程,圆上的P与Q关于直线对称得到直线过圆心,把圆心坐标代入即可求出k;(2)又因为PQ⊥直线kx-y+4=0得到直线PQ的斜率为−1k,然后联立直线与圆的方程,利用OP⊥OQ.∴x1x2+y1y2=0,再借助于韦达定理,即可写出直线的方程.
关于点、直线对称的圆的方程.
本题的考点是关于点、直线对称的圆的方程,主要考查考查学生理解圆的对称轴为过直径的直线,会根据两直线垂直得到斜率乘积为-1,会根据条件写出直线的一般式方程.注意条件的等价转化.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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