如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点,连接DE. (1)DE与半圆O相切吗?若相切,请给出证明;若不相切,请说明理由; (2)若AD=4、AB=6,求直
题目
如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点,连接DE.
(1)DE与半圆O相切吗?若相切,请给出证明;若不相切,请说明理由;
(2)若AD=4、AB=6,求直角边BC的长.
答案
(1)连OD,OE,如图,
∵E是BC边上的中点,AB是半圆O的直径,
∴OE是△ABC的中位线,
∴OE∥AC,
∴∠1=∠3,∠2=∠A,而OD=OA,∠A=∠3,
∴∠1=∠2,
又∵OD=OB,OE为公共边,
∴△OED≌△OEB,
∴∠ODE=∠OBE=90°.
∴DE与半圆O相切.
(2)∵AB为直径
∴∠ADB=∠ABC=90°,
∴∠CAB=∠CAB,
∴△ABC∽△ADB.
∴
=,
∵AD=4、AB=6,
∴AC=9,
∴在Rt△ABC中:BC=
=
=3
.
(1)连OD,OE,由E是BC边上的中点,得到OE是△ABC的中位线,则OE∥AC,所以有∠1=∠3,∠2=∠A,而∠A=∠3,因此得到∠1=∠2,再加上OD=OB,OE为公共边,所以得到△OED≌△OEB,于是∠OED=∠OBE=90°.
(2)首先证明△ABC∽△ADB,得出
= ,即可求出答案.
切线的判定;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.
此题主要考查了圆的切线的判定方法以及相似三角形的性质与判定,经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线.当已知直线过圆上一点,要证明它是圆的切线,则要连接圆心和这个点,证明这个连线与已知直线垂直即可;当没告诉直线过圆上一点,要证明它是圆的切线,则要过圆心作直线的垂线,证明垂线段等于圆的半径.同时考查了三角形全等的判定与性质.
举一反三
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