求证:在平行四边形ABCD中,AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
题目
求证:在平行四边形ABCD中,AC
2+BD
2=AB
2+BC
2+CD
2+DA
2.
答案
证明:作DE⊥BA于点E,CF⊥AB交AB的延长线于F,则∠AED=∠BFC=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AB∥CD,
∴∠DAE=∠CBF,
在△ADE和△BCF中,
,
∴△ADE≌△BCF(AAS),
∴AE=BF,DE=CF.
在Rt△DBE和Rt△CAF中,由勾股定理,得
AC
2=AF
2+CF
2=CF
2+(AB+AE)
2,
BD
2=DE
2+BE
2=CF
2+(AB-AE)
2,
AD
2=AE
2+DE
2,CB
2=BF
2+CF
2,
则AC
2+BD
2=CF
2+AB
2+AE
2+2AB•AE+CF
2+AB
2-2AB•AE+AE
2=(CF
2+AE
2)+(CF
2+AE
2)+AB
2+AB
2=AB
2+BC
2+CD
2+DA
2.
故AC
2+BD
2=AB
2+BC
2+CD
2+DA
2.
作DE⊥BA于点E,CF⊥AB交AB的延长线于F,再根据四边形ABCD是平行四边形,求证△ADE≌△BCF,得出DE=CF,AE=BF,由勾股定理得AC2=AF2+CF2=CF2+(AB+AE)2,BD2=DE2+BE2=CF2+(AB-AE)2,AD2=AE2+DE2,CB2=BF2+CF2,所以AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
平行四边形的性质;勾股定理.
此题主要考查学生对勾股定理、平行四边形的性质和全等三角形的性质的理解和掌握,此题涉及到的知识点较多,综合性很强,有一定的拔高难度,属于难题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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