已知：在正方形ABCD中,AD＝12,点E是边CD上的动点（点E不与端点C、D重合）,AE的垂直平分线FP分别交AD、AE、BC于点F、H、G,交AB的延长线于点P.

题目

已知：在正方形ABCD中,AD＝12,点E是边CD上的动点（点E不与端点C、D重合）,AE的垂直平分线FP分别交AD、AE、BC于点F、H、G,交AB的延长线于点P.
（1） 设DE＝m（0

答案

1）过点G作GQ⊥AD于Q,则QG=AB=AD=12,∠FQG=∠D=90°
∵∠QFG+∠DAE=∠AED+∠DAE=90°,
∴∠QFG=∠AED
∴△QFG≌△AED
∴FG=EA,FQ=DE=m
∵FP的垂直平分线AE
∴AH=1/2AE=1/2FG,∠FHA=∠FQG=90°
∵∠FHA=∠FQG=90°,∠AFH=∠GFQ
∴△FHA∽△FQG
∴FH/AH=FQ/QG
∴FH=AH×FQ/QG=1/2FG×m/12=m/24*FG
HG=FG-FH=FG-m/24*FG=（24-m）/24*FG
∴FH/HG=[m/24*FG]/[（24-m）/24*FG]=m/（24-m）
（2）当FH/HG=1/2时
m/（24-m）=1/2
∴m=8
∴FH=m/24*FG=1/3*√（8²+12²）=4/3√13
∵FH/AH=FQ/QG=m/12=2/3
∴AH=2√13
∴FQ=√（FH²+AH²）=26/3
GB=QA=FA-FQ=26/3-m=2/3
∵△GBP∽△FQG
∴BP/GB=QG/FQ
BP=2/3×12/8=1