如图,已知△ABC,∠ACB=90°,AC=BC,点E、F在AB上,∠ECF=45°

题目

如图,已知△ABC,∠ACB=90°,AC=BC,点E、F在AB上,∠ECF=45°
（1）求证△ACF∽△BEC
（2）设△ABC的面积为S,求：AF*BF=2S
（3）试判断以线段AE、EF、FB为边的三角形的形状并给出证明

答案

（1） 由∠ACF=∠ACE+∠ECF=∠ACE+45°、∠BEC=∠ACE+∠A=∠ACE+45°得∠ACF=∠BEC,另有∠A=∠B,证得△ACF∽△BEC.
（2）题目有误,应为AF*BE=2S.
已证△ACF∽△BEC,则AF/AC=BC/BE,得AF*BE=AC*BC=2S.
（3）以线段AE、EF、FB为边的三角形为直角三角形.证明如下：
已知△ABC为直角等腰三角形,则AB²=2AC²,已证AF*BE=AC²,
故：AB²=2AF*BE,
即：(AE+EF+FB)²=2(AE+EF)(EF+FB),
化开：AE²+EF²+FB²+2(AE*EF+AE*FB+EF*FB)=2(AE*EF+AE*FB+EF*FB)+2EF²
得：AE²+FB²=EF²,所以该三线段构成直角三角形.