在三角形ABC中角C90度,边AC等于8,BC等6,现要在三角形ABC内建造一个矩形水池DEFG,实际施工时发现在AB上距点B2.1米处有棵树,问此树是否位于最大矩形水池的边上,如果在,为保护大树,请

题目

在三角形ABC中角C90度,边AC等于8,BC等6,现要在三角形ABC内建造一个矩形水池DEFG,实际施工时发现在AB上距点B2.1米处有棵树,问此树是否位于最大矩形水池的边上,如果在,为保护大树,请设计出在三角形区域内建造的最大矩形水池能避开大树.

答案

设EF在AB上,易求得AB=10米,
因为三角形ABC三边之比为3:4:5,且三角形DGC相似于三角形ABC,
所以设AG=3m,CD=4m,DG=5m
所以三角形CDG的高CM=2.4m,三角形ABC的高CN=4.8米
所以矩形DEFG的面积为5m(4.8-2.4m)=-12m²+24m=-12(m-1) ²+12
所以当m=1,即CG=3米时,矩形面积最大
此时,FB为1.8米,影响大树
于是,设FB=2.1米,AE=4n米,DE=3n米
则EF=10-2.1-4n=(7.9-4n)米
这样,矩形DEFG的面积为3n(7.9-4n),可求得最大值,进行设计.