设f(x)在x=a处有二阶导数,求证x趋于0时lim(f(a+x)+f(a-x)-2f(a))/x^2=f'(a)

题目

设f(x)在x=a处有二阶导数,求证x趋于0时lim(f(a+x)+f(a-x)-2f(a))/x^2=f'(a)

答案

由已知,f(x)在x=a存在二阶导数,可知f(x)一阶导数在x=a的临域内连续
导数定义
 
开始证明

 
所以原式的极限为 f''(a)